Cho hàm số bậc nhất: y = (2m + 1)x – 2 có đồ thị là đường thẳng (d).

a) Vẽ đồ thị hàm số với m = 1.

b) Tìm m để (d) song song với đồ thị hàm số: y = –4x + 1.

c) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến (d) bằng \(\sqrt 2 \).

Lời giải

a) (d): y = (2m + 1)x – 2 \(\left( {m \ne - \frac{1}{2}} \right)\).

Với m = 1, ta có: y = 3x – 2.

Bảng giá trị của (d) khi m = 1:

Do đó đồ thị hàm số y = 3x – 2 là đường thẳng đi qua hai điểm (1; 1) và (2; 4).

b) Ta có (d) song song với đồ thị hàm số y = –4x + 1.

Suy ra

Do đó \(m = - \frac{5}{2}\).

Vậy \(m = - \frac{5}{2}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

c) Gọi A, B lần lượt là giao điểm của đường thẳng (d) với hai trục Ox, Oy.

Suy ra B(0; –2). Do đó OB = 2.

Để (d) cắt Ox (y = 0) thì 2m + 1 ≠ 0 \( \Leftrightarrow m \ne - \frac{1}{2}\).

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và Ox: (2m + 1)x – 2 = 0

\( \Leftrightarrow x = \frac{2}{{2m + 1}}\).

Suy ra tọa độ \(A\left( {\frac{2}{{2m + 1}};0} \right)\).

Do đó \(OA = \frac{2}{{\left| {2m + 1} \right|}}\).

Gọi H là hình chiếu của O lên AB.

Tam giác OAB vuông tại O có OH là đường cao:

\(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}}\) (Hệ thức lượng trong tam giác vuông).

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{{{{\left( {2m + 1} \right)}^2}}}{4} + \frac{1}{4} = \frac{{4{m^2} + 4m + 2}}{4}\).

Suy ra \(O{H^2} = \frac{4}{{4{m^2} + 4m + 2}}\).

Do đó \(OH = \frac{2}{{\sqrt {4{m^2} + 4m + 2} }}\).

Theo đề, ta có khoảng cách từ gốc tọa độ đến (d) bằng \(\sqrt 2 \).

Suy ra \(OH = \sqrt 2 \).

\( \Leftrightarrow \frac{2}{{\sqrt {4{m^2} + 4m + 2} }} = \sqrt 2 \)

\( \Leftrightarrow \sqrt {4{m^2} + 4m + 2} = \sqrt 2 \)

⇔ 4m² + 4m = 0

⇔ m = 0 hoặc m = –1.

So với điều kiện \(m \ne - \frac{1}{2}\), ta nhận m = 0 hoặc m = –1.

Vậy m ∈ {0; –1} thỏa mãn yêu cầu bài toán.