Cho hàm số bậc bốn f (x) có bảng biến thiên như sau:

Số điểm cực trị của hàm số g(x) = x²[f (x − 1)]⁴ là:

Lời giải

Ta có:

g(x) = x²[f (x − 1)]⁴

Þ g '(x) = 2x[f (x − 1)]⁴ + 4x²f '(x − 1)[f (x − 1)]³

Û g '(x) = 2x[f (x − 1)]³[f (x − 1) + 2xf '(x − 1)] = 0

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\f\left( {x - 1} \right) = 0\\f\left( {x - 1} \right) + 2xf'\left( {x - 1} \right) = 0\end{array} \right.\]

Đặt t = x − 1 Þ x = t + 1

Xét phương trình f (x − 1) = 0 Û f (t) = 0

Dựa vào BBT ta thấy phương trình f (t) = 0 có 4 nghiệm phân biệt khác 1 nên phương trình f (x − 1) = 0 có 4 nghiệm phân biệt khác 0.

Xét phương trình f (x − 1) + 2xf '(x − 1) = 0

Þ f (t) + 2(t + 1)f '(t) = 0 (*)

Dựa vào BBT ta thấy:

f (x) là hàm bậc bốn trùng phương, đặt f (x) = ax⁴ + bx² + c (a ≠ 0)

Đồ thị hàm số đi qua 3 điểm (−1; 3), (0; −1), (1; 3) và có ba điểm cực trị x = 0, x = ±1 nên ta có:

\[\left\{ \begin{array}{l}c = - 1\\a + b + c = 3\\f'\left( 1 \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = - 1\\a + b + c = 3\\4a + 2b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 4\\b = 8\\c = - 1\end{array} \right.\]

Þ f (x) = −4x⁴ + 8x² − 1 Þ f '(x) = −16x³ + 16x.

Thay vào (*) ta có:

−4t⁴ + 8t² − 1 + 2(t + 1)( −16t³ + 16t) = 0

Û −4t⁴ + 8t² − 1 − 32t⁴ + 32t² − 32t³ + 32t = 0

Û −36t⁴ − 32t³ + 40t² + 32t − 1 = 0

Xét hàm số h (t) = −36t⁴ − 32t³ + 40t² + 32t − 1 ta có:

h '(t) = − 144t³ − 96t² + 80t + 32

Ta có: \[h'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{2}{3}\\t = \frac{{ - 1}}{3}\\t = - 1\end{array} \right.\].

Ta có BBT:

Dựa vào BBT ta thấy phương trình h (t) = 0 có 4 nghiệm phân biệt khác 1

Þ Phương trình f (x − 1) − 2xf '(x − 1) = 0 có 4 nghiệm phân biệt khác 0.

Do đó, phương trình g '(x) = 0 có tất cả 9 nghiệm phân biệt.