Cho hai tập hợp khác rỗng: A = (m – 1; 4], B = (−2; 2m + 2

Đề bài: Cho hai tập hợp khác rỗng: A = (m – 1; 4], B = (−2; 2m + 2), với m ∈ ℝ. Xác định m để:

a) A ∩ B = Ø;

b) A ⊂ B;

c) B ⊂ A;

d) (A ∩ B) ⊂ (−1; 3).

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Với A = (m – 1; 4], B = (−2; 2m + 2) là các tập khác tập rỗng, ta có điều kiện:

$\left\{\begin{array}{l}m-1<4\\ 2m+2>-2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m<5\\ m>-2\end{array}\right.$⇔ −2 < m < 5 (*)

a) Ta có: A ∩ B = Ø ⇔ m – 1 < 2m + 2 ⇔ m > −3.

So sánh với điều kiện (*) ta thấy các giá trị m thỏa mãn yêu cầu là: −2 < m < 5.

b) A ⊂ B $\iff \left\{\begin{array}{l}m-1\ge -2\\ 2m+2>4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\ge -1\\ m>1\end{array}\right.\iff m>1$ .

So sánh với điều kiện (*) ta có các giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 1 < m < 5.

c) B ⊂ A $\iff \left\{\begin{array}{l}m-1\le -2\\ 2m+2\ge 4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\le -1\\ m\le 1\end{array}\right.\iff m\le 1$ .

So sánh với (*) ta thấy các giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán là: −2 < m ≤ −1.

d) (A ∩ B) ⊂ (−1; 3) $\iff \left\{\begin{array}{l}m-1\ge -1\\ 2m+2\le 3\end{array}\right.\iff 0\le m\le \frac{1}{2}$  (*).

Vậy với $0\le m\le \frac{1}{2}$  thoản mãn yêu cầu bài toán.