Cho hai số dương a, b và a + b = 1. Chứng minh

Đề bài: Cho hai số dương a, b và a + b = 1. Chứng minh $A=8\left(a^4+b^4\right)+\frac{1}{ab}\ge 5$.

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Ta có: a + b = 1 ⇔ a² + b² + 2ab = 1.

Mà a² + b² – 2ab ≥ 0 nên $a^2+b^2\ge \frac{1}{2}$

$\Rightarrow a^4+2a^2{b}^2+b^4\ge \frac{1}{4}$

Mà a⁴ – 2a²b² + b⁴ ≥ 0

$\Rightarrow 2\left(a^4+b^4\right)\ge \frac{1}{4}$

$\Rightarrow a^4+b^4\ge \frac{1}{8}$        (*)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: $a+b\ge 2\sqrt{ab}$

$\Rightarrow ab\le \frac{a+b}{4}=\frac{1}{4}$

$\Rightarrow \frac{1}{ab}\ge \frac{1}{\frac{1}{4}}=4$        (**)

Cộng vế với vế của (*) và (**) suy ra $A=8\left(a^4+b^4\right)+\frac{1}{ab}\ge 1+4=5$ (đpcm).