Cho hai số a, b thỏa mãn điều kiện a + b = 1

Đề bài: Cho hai số a, b thỏa mãn điều kiện a + b = 1.

Chứng minh a³ + b³ + ab $\ge \frac{1}{2}$ .

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Ta có: a³ + b³ + ab = (a + b)³ – 3ab(a + b) + ab

= 1 – 3ab + ab (do a + b = 1)

= 1 – 2ab = 1 – 2a( 1 – a)

= 2a² – 2a + 1 = $2\left(a^2-a+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{2}$

$=2{\left(a-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{1}{2}\ge \frac{1}{2}$.

Vậy $a^3+b^3+ab\ge \frac{1}{2}$  (đpcm).