Cho hai khoảng A = (m; m + 1) và B = (3; 5

Đề bài: Cho hai khoảng A = (m; m + 1) và B = (3; 5)

Tìm m để A ∪ B là một khoảng. Hãy xác định khoảng đó.

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Để A hợp B là một khoảng thì

Trường hợp 1: A ⊂ B, tức (m; m + 1) ⊂ (3; 5)

$\iff \left\{\begin{array}{l}3\le m\\ m+1\le 5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\ge 3\\ m\le 4\end{array}\right.\iff 3\le m\le 4\iff m\in \left[3;4\right]$

Khi đó A ∪ B = (3; 5).

Trường hợp 2: B ⊂ A, tức (3; 5) ⊂ (m; m + 1)

$\iff \left\{\begin{array}{l}m\le 3\\ 5\le m+1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\le 3\\ m\ge 4\end{array}\right.$ (loại)

Do đó không xảy ra trường hợp này.

Khi đó A ∪ B = (3; 5).

Trường hợp 3: A ∪ B = (m; 5) thì

$\left\{\begin{array}{l}m\le 3\\ m+1>3\\ m+1\le 5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\le 3\\ m>2\\ m\le 4\end{array}\right.\iff 2<m\le 3\iff m\in \left(2;3\right]$

Trường hợp 4: A ∪ B = (3; m +1) thì

$\left\{\begin{array}{l}3\le m\\ 5>m\\ 5\le m+1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\ge 3\\ m<5\\ m\ge 4\end{array}\right.\iff 4\le m<5\iff m\in \left[4;5\right)$

Vậy $m\in \left(2;3\right]$  thì A ∪ B = (m; 5);

        $m\in \left[3;4\right]$  thì A ∪ B = (3; 5);

        $m\in \left[4;5\right)$  thì A ∪ B = (3; m +1).