Cho hai dãy số (u_n) và (v_n) với \({u_n} = 2 + \frac{1}{n},\,\,{v_n} = 3 - \frac{2}{n}\).

Tính và so sánh: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} + {v_n}} \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} + \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n}\).

Lời giải:

+) Ta có: \({u_n} + {v_n} = \left( {2 + \frac{1}{n}} \right) + \left( {3 - \frac{2}{n}} \right) = 5 - \frac{1}{n}\).

Lại có \(\left( {{u_n} + {v_n}} \right) - 5 = \left( {5 - \frac{1}{n}} \right) - 5 = - \frac{1}{n} \to 0\) khi n ⟶ +∞.

Do vậy, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = 5\).

+) Ta có: \({u_n} - 2 = \left( {2 + \frac{1}{n}} \right) - 2 = \frac{1}{n} \to 0\) khi n ⟶ +∞.

Do vậy, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 2\).

Và \({v_n} - 3 = \left( {3 - \frac{2}{n}} \right) - 3 = - \frac{2}{n} \to 0\)khi n ⟶ +∞.

Do vây, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = 3\).

Khi đó, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} + \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n}\) = 2 + 3 = 5 = \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} + {v_n}} \right)\).

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} + {v_n}} \right)\) = \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} + \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n}\).