Tìm giới hạn của các dãy số cho bởi:

a) \({u_n} = \frac{{{n^2} + 1}}{{2n - 1}}\);

b) \({v_n} = \sqrt {2{n^2} + 1} - n\).

Lời giải:

a) \({u_n} = \frac{{{n^2} + 1}}{{2n - 1}}\)

Chia cả tử và mẫu của u_n cho n², ta được \({u_n} = \frac{{{n^2} + 1}}{{2n - 1}}\)\( = \frac{{1 + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{\frac{2}{n} - \frac{1}{{{n^2}}}}}\).

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} \right) = 1 > 0\), \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\frac{2}{n} - \frac{1}{{{n^2}}}} \right) = 0\) và \(\frac{2}{n} - \frac{1}{{{n^2}}} > 0\) với mọi n nên

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^2} + 1}}{{2n - 1}} = + \infty \).

b) \({v_n} = \sqrt {2{n^2} + 1} - n\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {2{n^2} + 1} - n} \right)\)\( = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {{n^2}\left( {2 + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)} - n} \right)\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {n\sqrt {2 + \frac{1}{{{n^2}}}} - n} \right)\)\( = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {n\left( {\sqrt {2 + \frac{1}{{{n^2}}}} - 1} \right)} \right]\).

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {2 + \frac{1}{{{n^2}}}} - 1} \right) = \sqrt 2 - 1 > 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } n = + \infty \).

Nên \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {n\left( {\sqrt {2 + \frac{1}{{{n^2}}}} - 1} \right)} \right] = + \infty \).

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {2{n^2} + 1} - n} \right) = + \infty \).