Cho hai dãy số không âm (u_n) và (v_n) với \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 2\) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = 3\). Tìm các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{u_n^2}}{{{v_n} - {u_n}}}\);

b) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sqrt {{u_n} + 2{v_n}} \).

Lời giải:

a) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 2\), do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } u_n^2 = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n}.{u_n}} \right) = 2.2 = 4\).

Và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = 3\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{v_n} - {u_n}} \right) = 3 - 2 = 1\).

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{u_n^2}}{{{v_n} - {u_n}}} = \frac{4}{1} = 4\).

b) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } 2 = 2\) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = 3\), do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {2{v_n}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {2.{v_n}} \right) = 2.3 = 6\).

Và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 2\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} + 2{v_n}} \right) = 2 + 6 = 8\).

Vì u_n ≥ 0, v_n ≥ 0 với mọi n nên u_n + 2v_n ≥ 0 với mọi n và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} + 2{v_n}} \right) = 8 > 0\).

Do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sqrt {{u_n} + 2{v_n}} = \sqrt 8 = 2\sqrt 2 \).