Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số:

a) 1,(12) = 1,121212...;

b) 3,(102) = 3,102102102...

Lời giải:

a) Ta có: 1,(12) = 1,121212... = 1 + 0,12 + 0,0012 + 0,000012 + ...

= 1 + 12 . 10^-2 + 12 . 10^-4 + 12 . 10^-6 + ...

= 1 + 12 . (10^-2 + 10^-4 + 10^-6 + ...)

Do 10^-2 + 10^-4 + 10^-6 + ... là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u₁ = 10^-2 và q = 10^-2 nên

10^-2 + 10^-4 + 10^-6 + ... = \[\frac{{{{10}^{ - 2}}}}{{1 - {{10}^{ - 2}}}} = \frac{1}{{99}}\].

Vậy 1,(12) = \(1 + 12.\frac{1}{{99}} = \frac{{33}}{{33}} + \frac{4}{{33}} = \frac{{37}}{{33}}\).

b) Ta có: 3,(102) = 3,102102102... = 3 + 0,102 + 0,000102 + 0,000000102 + ...

= 3 + 102 . 10^-3 + 102 . 10^-6 + 102 . 10^-9 + ...

= 3 + 102 . (10^-3 + 10^-6 + 10^-9 + ...)

Do 10^-3 + 10^-6 + 10^-9 + ... là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u₁ = 10^-3 và q = 10^-3 nên

10^-3 + 10^-6 + 10^-9 + ... = \[\frac{{{{10}^{ - 3}}}}{{1 - {{10}^{ - 3}}}} = \frac{1}{{999}}\].

Vậy 3,(102) = 3 + \(102.\frac{1}{{999}} = 3 + \frac{{34}}{{333}} = \frac{{1033}}{{333}}\).