Cho hai biểu thức P = 1/ căn bậc hai của x + 1 và Q = căn bậc hai của x + 2/x - 5 căn bậc hai của x + 6 + căn bậc hai của x + 3/ căn bậc hai của x - 2+ căn bậc hai của x + 2/3 - căn bậc
42
21/05/2024
Cho hai biểu thức \(P = \frac{1}{{\sqrt x + 1}}\) và \(Q = \frac{{\sqrt x + 2}}{{x - 5\sqrt x + 6}} + \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{\sqrt x + 2}}{{3 - \sqrt x }}\) với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9.
a) Tính giá trị của biểu thức P khi x = 25.
b) Rút gọn biểu thức Q.
c) Biết \(A = \frac{P}{Q}.\) Tìm số nguyên tố x để |A| > A.
Trả lời
Lời giải
ĐK: x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9.
a) Khi x = 25 thì \(P = \frac{1}{{\sqrt {25} + 1}} = \frac{1}{{5 + 1}} = \frac{1}{6}\).
b) \(Q = \frac{{\sqrt x + 2}}{{x - 5\sqrt x + 6}} + \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{\sqrt x + 2}}{{3 - \sqrt x }}\)
\( = \frac{{\sqrt x + 2}}{{x - 3\sqrt x - 2\sqrt x + 6}} + \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 3}}\)
\( = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right) - 2\left( {\sqrt x - 3} \right)}} + \frac{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \frac{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\)
\( = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} + \frac{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \frac{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\)
\[ = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} + \frac{{x - 9}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \frac{{x - 4}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\]
\( = \frac{{\sqrt x + 2 + x - 9 - x + 4}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x - 3}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \frac{1}{{\sqrt x - 2}}\).
Khi đó, \(A = \frac{P}{Q} = \frac{1}{{\sqrt x + 1}}:\frac{1}{{\sqrt x - 2}} = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 1}}\)
Để |A| > A Þ A < 0
\( \Rightarrow \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 1}} < 0\)
Mà \(\sqrt x + 1 > 0 \Rightarrow \sqrt x - 2 < 0\)
\( \Rightarrow \sqrt x < 2 \Rightarrow x < 4\).
Kết hợp ĐK nên suy ra 0 £ x < 4. \[\]
