Cho H, K là các giao điểm của đường tròn (O1), (O2). Đường thẳng O1H cắt

Đề bài: Cho H, K là các giao điểm của đường tròn (O₁), (O₂). Đường thẳng O₁H cắt (O₁) tại A , (O₂) tại B . O₂H cắt (O₁)  tại C và (O₁) tại D. Chứng minh rằng ba đường thẳng  BC, BD, HK đồng quy tại 1 điểm.

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Gọi giao điểm của AC và BD là E

Các tam giác ACH, AKH nội tiếp đường tròn (O₁) có cạnh HA là đường kính nên tam giác ACH vuông tại C, tam giác AHK vuông tại K

Suy ra $\left\{\begin{array}{l}DC\perp A\text{E (1)}\\ HK\perp AK\text{ (2)}\end{array}\right.$

Các tam giác HDK, HDB nội tiếp đường tròn (O₂) có cạnh HD là đường kính nên tam giác HDK vuông tại K, tam giác HBD vuông tại B

Suy ra $\left\{\begin{array}{l}AB\perp D\text{E (4)}\\ HK\perp KD\text{ (3)}\end{array}\right.$

Từ (2) và (3) suy ra A, K, D thẳng hàng

Do đó HK ⊥ AD

Từ (1) và (4) suy ra H là trực tâm tam giác AED

Do đó HE ⊥ AD

Suy ra H thuộc EK

Vậy BC, BD, HK đồng quy tại 1 điểm.