Cho góc xOy khác góc bẹt. Oz là tia phân giác của góc đó, M là một điểm bất kì thuộc tia Oz. Qua M vẽ đường thẳng a vuông góc

Bài 68 trang 88 SBT Toán 7 Tập 2: Cho góc xOy khác góc bẹt. Oz là tia phân giác của góc đó, M là một điểm bất kì thuộc tia Oz. Qua M vẽ đường thẳng a vuông góc với Ox tại A, cắt Oy tại C. Qua M vẽ đường thẳng b vuông góc với Oy tại B, cắt Ox tại D. Chứng minh:

a) OM là đường trung trực của đoạn thẳng AB;

b) Tam giác DMC là tam giác cân.

Trả lời

a) Vì Oz là tia phân giác của góc xOy nên $\widehat{xOz}=\widehat{zOy}$.

 Xét $∆$OAM và $∆$OBM có

$\widehat{OAM}=\widehat{OBM}\left(=90°\right)$,

OM là cạnh chung,

$\widehat{AOM}=\widehat{BOM}$ (do $\widehat{xOz}=\widehat{zOy}$)

Do đó ∆OAM = ∆OBM (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra OA = OB và MA = MB (các cặp cạnh tương ứng).

Nên O và M cùng nằm trên đường trung trực của AB.

Vậy OM là đường trung trực của AB.

b) Xét $∆$ADM và $∆$BCM có

$\widehat{DAM}=\widehat{CBM}\left(=90°\right)$,

AM = BM (chứng minh câu a),

$\widehat{AMD}=\widehat{BMC}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó ∆ADM = ∆BCM (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra MD = MC (hai cạnh tương ứng).

Do đó tam giác CDM cân tại M.

Vậy tam giác DMC cân tại M.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 7 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 7. Tam giác cân

Bài 8. Đường vuông góc và đường xiên

Bài 9. Đường trung trực của một đoạn thẳng

Bài 10. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Bài 11. Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Bài 12. Tính chất ba đường trung trực của tam giác