Cho đường tròn tâm O, dây AB = 24 cm, dây AC = 20 cm góc BAC < 90^0 và điểm O nằm trong góc BAC). Gọi M là trung điểm AC. Khoảng cách từ M đến AB bằng 8 cm. Tính bán kính đường tròn.
Lời giải:
Kẻ MH ⊥ AB tại H.
Khi đó AM = 10 cm, MH = 8 cm.
Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác AMH vuông tại H, ta có:
AM2 = MH2 + AH2
\[ \Rightarrow \] 102 = 82 + AH2
\[ \Rightarrow \] AH2 = 36
\[ \Rightarrow \] AH = 6 (cm)
Kẻ CK ⊥ AB tại K
Ta có: MH // CK (cùng vuông góc với AB), M là trung điểm AC, suy ra H là trung điểm AK
Do đó AK = 2AH = 12 cm = \[\frac{1}{2}\]AB.
Như vậy, CK vừa là đường cao, vừa là trung tuyến của tam giác ABC, cho nên ΔABC cân tại C.
Do đó, điểm O nằm trên CK.
Lại có MH là đường trung bình của tam giác ACK, suy ra CK = 2MH = 16 cm.
Xét ΔCMO và ΔCKA có:
\[\widehat C\] chung
\[\widehat {CMO} = \widehat {CKA} = 90^\circ \]
Suy ra: ΔCMO ᔕ ΔCKA (g.g).
\[ \Rightarrow \frac{{CM}}{{CK}} = \frac{{CO}}{{CA}} \Rightarrow \frac{{10}}{{16}} = \frac{R}{{20}}\]
Suy ra: R = 12,5 cm
Vậy R = 12,5 cm