Cho đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R. Từ trung điểm H của đoạn OB, kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt đường tròn (O) tại C và D.

a) Chứng minh HC = HD và tứ giác ODBC là hình thoi.

b) Tính số đo của \[\widehat {BOC}\].

c) Gọi M là điểm đối xứng của O qua B. Chứng minh MC là tiếp tuyến tại C của đường tròn (O). Tính MC theo R.

d) Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt CD ở I. Chứng minh HI.HD + HB.HM = R².

Lời giải

a) Đường tròn (O) có AB là đường kính, CD là dây cung và AB ⊥ CD tại H.

Suy ra H là trung điểm của CD.

Do đó HC = HD.

Tứ giác ODBC có H là trung điểm của hai đường chéo OB và CD.

Suy ra tứ giác ODBC là hình bình hành.

Mà OB ⊥ CD tại H (giả thiết).

Do đó ODBC là hình thoi.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

b) Ta có tứ giác ODBC là hình thoi (kết quả câu a).

Suy ra BC = OC.

Mà OB = OC = R.

Do đó BC = OB = OC = R.

Vì vậy ∆OBC đều nên \(\widehat {BOC} = 60^\circ \).

c) Ta có BC = OB (do ∆OBC đều) và OB = BM (do M là điểm đối xứng của O qua B).

Suy ra OB = BM = BC.

Do đó ∆OCM vuông tại C.

Vì vậy \(\widehat {OCM} = 90^\circ \).

Vậy MC là tiếp tuyến tại C của đường tròn (O).

∆OCM vuông tại C, theo định lí Pythagore ta có:

\(MC = \sqrt {O{M^2} - O{C^2}} = \sqrt {4O{B^2} - O{C^2}} = \sqrt {4{R^2} - {R^2}} = R\sqrt 3 \).

Vậy \(MC = R\sqrt 3 \).

d) Ta có H là trung điểm OB. Suy ra \(OH = HB = \frac{{OB}}{2}\).

∆OCI vuông tại O có OH là đường cao: OH² = HI.HC (hệ thức lượng trong tam giác vuông).

Mà HC = HD (do H là trung điểm của CD)

Suy ra OH² = HI.HD (1)

∆OCM vuông tại C có CH là đường cao: CH² = HO.HM (hệ thức lượng trong tam giác vuông).

Mà HO = HB (do H là trung điểm của OB)

Suy ra CH² = HB.HM (2)

∆OCH vuông tại H: OC² = CH² + OH² (định lí Pythagore) (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: OC² = HB.HM + HI.HD.

Mà OC = R

Suy ra R² = HI.HD + HB.HM.