Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm M nằm ngoài đường tròn. Qua M kẻ tiếp tuyến MA với đường tròn (A là tiếp điểm). Tia Mx nằm giữa MA và MO cắt đường tròn (O; R) tại 2 điểm C và D (C nằm giữa M và D). Gọi I là trung điểm của dây CD, kẻ AH vuông góc với MO tại H.

a) Chứng minh OH . OM không đổi.

b) Chứng minh bốn điểm M, A, I, O cùng thuộc 1 đường tròn.

c) Gọi K là giao điểm của OI với HA. Chứng minh KC là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).

Lời giải

a) Vì MA là tiếp tuyến của (O) nên MA ⊥ OA

Xét tam giác AMO vuông tại A có AH ⊥ OM

Suy ra OH . OM = OA² = R²

Vì R không đổi nên OH . OM không đổi.

b) Vì OC = OD nên ΔOCD cân tại O

Mà OI là đường trung tuyến, nên OI ⊥ CD

Xét tứ giác OIAM có

\(\widehat {OIM} = \widehat {OAM}\left( { = 90^\circ } \right)\)

Nên OIAM là tứ giác nội tiếp

Vậy bốn điểm M, A, I, O cùng thuộc 1 đường tròn.

c) Xét ΔOHK và ΔOIM có

\(\widehat {OHK} = \widehat {OIM}\left( { = 90^\circ } \right)\)

\(\widehat {HOK}\) là góc chung

Suy ra  (g.g)

Do đó \(\frac{{OH}}{{OI}} = \frac{{OK}}{{OM}}\)

Suy ra OI . OK = OH . OM = R² = OC²

Do đó \(\frac{{OC}}{{OK}} = \frac{{OI}}{{OC}}\)

Xét ΔOCK và ΔOIC có

\(\frac{{OC}}{{OK}} = \frac{{OI}}{{OC}}\)

\(\widehat O\) là góc chung

Suy ra  (g.g)

Do đó \(\widehat {OCK} = \widehat {OIC} = 90^\circ \) (hai góc tương ứng)

Hay OC ⊥ OK

Suy ra KC là tiếp tuyến của (O).