Cho đường tròn (O) và dây cung AB của (O) không là đường kính. Gọi I là trung điểm của AB. Một đường thẳng thay đổi đi qua A cắt đường tròn tâm O bán kính OI tại P và Q.
a) Chứng minh rằng AP . AQ = AI2.
b) Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ cắt AB tại K khác B. Chứng minh
rằng AK . AB = AP . AQ.
a) Xét (O; OA) có: \[IA = IB = \frac{1}{2}AB\]
⇒ OI ⊥ AB (mối quan hệ đường kính – dây cung)
⇒ OI ⊥ AI
Xét (O; OI) có: OI ⊥ AI
⇒ AI là tiếp tuyến của (O; OI) tại I
\[ \Rightarrow \widehat {PIA} = \widehat {PQI}\] (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn )
Hay \[\widehat {PIA} = \widehat {IQA}\]
Xét ∆AIP và ∆AQI có:
\[\widehat {PIA} = \widehat {IQA}\] (cmt)
\[\widehat A\] chung
Do đó ∆AIP ᔕ ∆AQI (g.g)
Suy ra \[\frac{{AI}}{{AQ}} = \frac{{AP}}{{AI}}\] (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)
Do đó AP. AQ = AI2.
b) Vì tứ giác BKPQ nội tiếp nên \[\widehat {APK} = \widehat {KBQ}\]
Hay \[\widehat {APK} = \widehat {ABQ}\]
Xét ∆APK và ∆ABQ có:
\[\widehat {APK} = \widehat {ABQ}\] (cmt)
\[\widehat A\]: góc chung
Do đó ∆APK ᔕ ∆ABQ (g. g)
Suy ra \[\frac{{AP}}{{AB}} = \frac{{AK}}{{AQ}}\] (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)
Do đó AK . AB = AP . AQ.