Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Vẽ dây AC sao cho \(\widehat {CAB} = 30^\circ \). Trên tia đối của tia BA, lấy điểm M sao cho BM = R. Chứng minh:

a) MC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

b) MC² = 3R².

Lời giải

Ta có BM = R

OA = OB = R

B nằm giữa M và O (vì M thuộc tia đối của tia BA)

Suy ra B là trung điểm của OM

Vì tam giác ABC nội tiếp (O) đường kính AB

Nên tam giác ABC vuông tại C

Suy ra \(\widehat {CAB} + \widehat {CBA} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Mà \(\widehat {CAB} = 30^\circ \), nên \(\widehat {CBA} = 60^\circ \)

Lại có tam giác OBC cân tại O (vì OB = OC)

Suy ra tam giác OBC đều. Do đó OB = CB, \(\widehat {COB} = 60^\circ \)

Mà OB = BM, suy ra \[{\rm{OB }} = BM = CM = \frac{1}{2}OM\]

Xét tam giác OCM có

\[{\rm{OB }} = BM = CM = \frac{1}{2}OM\]

CM là trung tuyến

Suy ra tam giác OCM vuông tại C

Do đó CO ⊥ CM

Xét (O) có CO ⊥ CM (chứng minh trên)

MC là tiếp tuyến của đường tròn (O)

b) Xét tam giác OCM vuông ở C có \(\widehat {COM} + \widehat {CMO} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Mà \(\widehat {COM} = 60^\circ \), nên \(\widehat {CMO} = 30^\circ \)

Suy ra \(\widehat {CMO} = \widehat {CAM}\left( { = 30^\circ } \right)\)

Xét DMCB và DMAC có

\(\widehat {CMO} = \widehat {CAM}\) (chứng minh trên)

\(\widehat M\) là góc chung

Suy ra  (g.g)

Do đó \(\frac{{MC}}{{MA}} = \frac{{MB}}{{MC}}\)

Suy ra MC² = MA . MB = (OA + OB + BM) . MB = 3R . R = 3R².