a) Xét ∆ODE có: \[\widehat {DOE} = 90^\circ \] và OD = OE = R
Do đó ∆ODE vuông cân tại O
• DE2 = OD2 + OE2 (Định lý Py-ta-go trong tam giác ODE vuông)
⇔ DE2 = 2R2
⇔ \[DE = \sqrt 2 R\]
• DE . OH = OD . OE (Hệ thức lượng trong ODE vuông)
⇔ \[\sqrt 2 R.OH = {R^2}\]
⇔ \[OH = \frac{{{R^2}}}{{\sqrt 2 R}} = \frac{R}{{\sqrt 2 }}\]
Xét ∆OHC có: \[\widehat {DHC} = 90^\circ \]
HC2 = DC2 – OH2
\[ \Leftrightarrow H{C^2} = 9{{\rm{R}}^2} - \frac{{{R^2}}}{2}\]
\[ \Leftrightarrow H{C^2} = \frac{{17{R^2}}}{2}\]
\[ \Rightarrow HC = \frac{{R\sqrt {34} }}{2}\] (cm) (1)
Mà \[DH = HE = \frac{{DE}}{2} = \frac{{\sqrt 2 R}}{2}\] (2)
Từ (1) và (2) suy ra DC = HC + DH
= \[\frac{{\sqrt {34} R}}{2} + \frac{{\sqrt 2 R}}{2} = \frac{{R\left( {\sqrt {34} + \sqrt 2 } \right)}}{2}\] (cm)
Ta có: CE = HC – HE
= \[\frac{{\sqrt {34} R}}{2} - \frac{{\sqrt 2 R}}{2} = \frac{{R\left( {\sqrt {34} - \sqrt 2 } \right)}}{2}\] (cm)
Vậy CD = \[\frac{{R\left( {\sqrt {34} + \sqrt 2 } \right)}}{2}\]
CE = \[\frac{{R\left( {\sqrt {34} - \sqrt 2 } \right)}}{2}\]
b) Ta có: DC . CE = AC . BC
⇔ \[\frac{{R\left( {\sqrt {34} + \sqrt 2 } \right)}}{2} \cdot \frac{{R\left( {\sqrt {34} - \sqrt 2 } \right)}}{2} = 4{\rm{R}} \cdot 2{\rm{R}}\]
⇔ 8R2 = 8R2
Vậy CD . CE = AC . BC