1.
Xét tam giác OAB có:
OA = OD = R
OH vuông góc với AD
Do đó, tam giác OAD cân tại O có OH là đường cao
Do đó, OH là phân giác của góc \(\widehat {AOD}\)
\( \Rightarrow \widehat {SOA} = \widehat {SOD}\)
Xét tam giác SAO và tam giác SDO có:
KO chung
\(\widehat {SOA} = \widehat {SOD}\)
OA = OD = R
Do đó, tam giác SAO bằng tam giác SDO (c.g.c)
\( \Rightarrow \widehat {SDO} = \widehat {SAO} = 90^\circ \)
Hay SD vuông góc với OD
Do đó, SD là tiếp tuyến của (O) tại D.
2,
Xét tam giác OAM có OA = OM
Do đó, tam giác OAM cân tại O
\( \Rightarrow \widehat {OAM} = \widehat {AMH}\)
Mà \(\widehat {OAM} + \widehat {SAM} = \widehat {SAO} = 90^\circ \)
Và \(\widehat {AMH} + \widehat {HAM} = 90^\circ \)
\( \Rightarrow \widehat {SAM} = \widehat {HAM}\)
Do đó, AM là đường phân giác của tam giác SAD (1)
Mặt khác SA, SD là các tiếp tuyến của đường tròn (O)
Do đó, SO là tia phân giác của \(\widehat {ASD}\)(2)
Từ (1) và (2) ta có: M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác SAD.
Mà MH vuông góc với AD tại H nên MH là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác SAD.
Do đó, MH = r, OH = R – r
Xét tam giác AOH vuông tại H
Ta có: OA2 = OH2 + AH2 (định lý Py–ta–go)
\( \Rightarrow AH = \sqrt {{R^2} - {{\left( {R - r} \right)}^2}} \Rightarrow AD = 2\sqrt {{R^2} - {{\left( {R - r} \right)}^2}} \)
Ta có: \(\widehat {EAD}\) chắn đường kính DE \( \Rightarrow \widehat {EAD} = 90^\circ \)
Xét tam giác EAD vuông tại A có:
DE2 = AD2 + AE2 (định lý Py–ta–go)
\( \Rightarrow AE = \sqrt {4{{\left( {R - r} \right)}^2}} = 2\left( {R - r} \right)\).
3.
OH là đường trung trực của AD, M thuộc OH
Do đó, DM = AM = R
Tứ giác AMDO có AM = MD = OA = OD (= R)
Tứ giác AMDO là hình thoi
Do đó, AM song song với DO.
Mà AM vuông góc với BM , BM vuông góc với OD
Tam giác OMD có OM = OD = CD (= R)
Do đó, tam giác OMD đều
Mà MB, DM là hai đường cao cắt nhau tại K của tam giác OMD
Do đó, K là trực tâm của tam giác đều OMD
Do đó, K là trọng tâm của tam giác đều OMD
\(KH = \frac{1}{3}DH;KD = \frac{2}{3}DH \Rightarrow KH.KD = \frac{2}{9}D{H^2}\)
Mà tam giác HMD vuông tại H
Do đó, DH = \(DH = MD.\sin 60^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{2}MD \Rightarrow MD = \frac{2}{{\sqrt 3 }}DH\)
\( \Rightarrow M{D^2} = 6.\frac{2}{9}D{H^2} = 6.KH.KD \Rightarrow \frac{{M{D^2}}}{6} = KH.KD\).