Cho đường tròn (O) đường kính AB. Vẽ tiếp tuyến Ax, với đường tròn

Đề bài: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Vẽ tiếp tuyến Ax, với đường tròn (O) (A là tiếp điểm ). Qua C thuộc tia Ax, vẽ đường thẳng cắt đường tròn (O) tại hai điểm D và E (D nằm giữa C và E; D và E nằm về hai phía của đường thẳng AB). Từ O vẽ OH vuông góc với đoạn thẳng DE tại H.

a) Chứng minh : tứ giác AOHC nội tiếp.

b) Chứng minh : AC . AE = AD . CE

c) Đường thẳng CO cắt tia BD, tia BE lần lượt tại M và N. Chứng minh : AM // BN

Trả lời

Hướng dẫn giải:

a) Ta có 

$\begin{array}{l}\stackrel{⏜}{\text{CAB}}{\text{ = 90}}^{\text{0}}\\ \stackrel{⏜}{\text{OHC}}{\text{ = 90}}^{\text{0}}\text{}\\ \Rightarrow \stackrel{⏜}{\text{CAB}}\text{ +}\stackrel{⏜}{\text{OHC}}{\text{ = 180}}^{\text{0}}\end{array}$

Vậy tứ giác AOHC nội tiếp.                                                   

b) Ta có $\stackrel{⏜}{\text{CAD}}\text{ = }\stackrel{⏜}{\text{AEC}}\text{, }\stackrel{⏜}{\text{ACE}}$ chung suy ra $\text{ΔACD ~ ΔECA}$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{\text{CA}}{\text{CE}}\text{ = }\frac{\text{AD}}{\text{AE}}\Rightarrow \text{AC . AE = AD . CE}$

c) Từ E vẽ đường thẳng song song với MN cắt cạnh AB tại I và cắt cạnh BD tại F

$\Rightarrow \stackrel{⏜}{\text{HEI}}\text{ = }\stackrel{⏜}{\text{HCO}}$

Vì tứ giác AOHC nội tiếp $\Rightarrow \stackrel{⏜}{\text{HAO}}\text{ = }\stackrel{⏜}{\text{HCO}}\text{ = }\stackrel{⏜}{\text{HEI}}$

Suy ra tứ giác AHIE nội tiếp $\Rightarrow \stackrel{⏜}{\text{IHE}}\text{ =}\stackrel{⏜}{\text{ IAE}}\text{ = }\stackrel{⏜}{\text{BDE}}\Rightarrow \text{HI // BD}$

Mà H là trung điểm của DE $\Rightarrow$  I là trung điểm của EF. Có EF // MN và IE =  IF

$\Rightarrow$ O là trung điểm của đoạn thẳng MN.

Suy ra tứ giác AMBN là hình bình hành $\Rightarrow$  AM//BN.