Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm).

a) Chứng minh rằng OA vuông góc với BC.

b) Vẽ đường kính CD. Chứng minh rằng BD // AO.

c) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC, biết OB = 2 cm; OA = 4 cm.

d) Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là M.

Chứng minh: AM.AD = AH.AO.

e) Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với cạnh AD tại K và cắt đường BC tại E. Chứng minh ED là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Lời giải

a) Ta có: AB = AC (Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau);

OB = OC = R.

Þ OA là đường trung trực của BC Þ OA ^ BC (1)

b) ∆BCD nội tiếp đường tròn (O) có CD là đường kính.

Þ ∆BCD vuông tại B Þ BD ^ BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra OA // BD.

c) • Xét ∆OBA vuông tại O. Áp dụng định lí Py-ta-go, ta có:

\(AB = \sqrt {O{A^2} - O{B^2}} = \sqrt {{4^2} - {2^2}} = 2\sqrt 3 \)

\( \Rightarrow AC = AB = 2\sqrt 3 \).

• Xét ∆ABO vuông tại B có BH là đường cao.

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

BH . AO = AB . BO \( \Rightarrow BH = \frac{{AB.BO}}{{AO}} = \frac{{2\sqrt 3 \,.\,2}}{4} = \sqrt 3 \)

\( \Rightarrow BC = 2BH = 2\sqrt 3 \),

d) ∆MCD nội tiếp đường tròn (O) có CD là đường kính.

Þ ∆MCD vuông tại M Þ CM ^ MD

• Xét ∆ACO vuông tại C có CH là đường cao

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

AH . AO = AC² (3)

• Xét ∆ACD vuông tại C có CM là đường cao

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

AM . AD = AC² (4)

Từ (3) và (4) suy ra AM . AD = AH . AO.

e) Ta có: OE ^ AD, BD ^ BC

\( \Rightarrow \widehat {EBD} = \widehat {EKD} = \widehat {AKO} = 90^\circ \)

Þ Tứ giác BKDE nội tiếp.

Mà \(\widehat {AKO} = \widehat {ABO} = \widehat {ACO} = 90^\circ \)

Þ A, B, K, O, C cùng thuộc đường tròn đường kính AO

\[ \Rightarrow \widehat {EDB} = \widehat {EKB} = \widehat {BCO} = \widehat {BCD}\]

Þ ED là tiếp tuyến của (O).