Cho đường tròn (O) dây cung BC (BC không là đường kính). Điểm A di động trên cung nhỏ BC (A khác B và C, độ dài cạnh AB khác AC). Kẻ đường kính AA' của đường tròn (O), D là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC. Hai điểm E, F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ B, C đến AA'.

a) Chứng minh rằng 4 điểm A, B, D, E cùng nằm trên 1 đường tròn.

b) Chứng minh BD.AC = AD.A'C.

a) Vì BE ⊥ AA' suy ra $\widehat{BEA}=90°$

         AD ⊥ BC suy ra $\widehat{ADB}=90°$

Suy ra tứ giác AEDB có $\widehat{BEA}=\widehat{ADB}$ cùng nhìn cạnh AB dưới 1 góc bằng 90°.

Suy ra tứ giác AEDB nội tiếp.

Hay 4 điểm A, B, D, E cùng nằm trên 1 đường tròn.

b) Xét tam giác ACA' và tam giác ADB có:

$\widehat{ABD}=\widehat{CA\text{'}F}$ (cùng chắn cung AC)

$\widehat{ADB}=\widehat{A\text{'}CA}=90°$ 

Do đó $\Delta ACA\text{'}\backsim \Delta ADB\left(g.g\right)$

Suy ra $\frac{AC}{AD}=\frac{A\text{'}C}{BD}$ (tỉ số đồng dạng)

Hay BD.AC = AD.A'C.