a) ΔABC nội tiếp đường tròn đường kính AB
Suy ra: ΔABC vuông tại C.
⇒ AC2 = AH.AB = (R – OH) . 2R = (4 – 1) . 2 . 4 = 24
⇔ AC = \(2\sqrt 6 \)(cm)
b) Xét tam giác vuông OHC và tam giác vuông OHD có:
Chung OH
OC = OD
Suy ra: ∆OHC = ∆OHD (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
⇒ HC = HD
⇒ BH là là trung tuyến của ΔBCD mà BH cũng là đường cao
⇒ ΔBCD cân tại B
Ta có: AC ⊥ CB ⇒ ΔCAE vuông tại C
CD ⊥ AB ⇒ ΔHBC vuông tại H
Mà \(\widehat {CBH} = \widehat {EAC}\)(cùng phụ với \(\widehat {CAB}\))
Xét ∆CAE và ∆HBC có:
\(\widehat {ECA} = \widehat {CHB}\)= 90°
\(\widehat {EAC} = \widehat {CBH}\)(cùng bằng \(\frac{1}{2}\)cung AC)
Suy ra: ∆CAE ~ ∆HBC (g.g)
Suy ra: \(\frac{{AE}}{{BC}} = \frac{{EC}}{{HC}}\)
Mà ΔBCD cân tại B, BH là trung tuyến
⇒ BC = BD và HC = DH
Vậy \(\frac{{AE}}{{BD}} = \frac{{EC}}{{DH}}\).
c) ΔAOC cân tại O ⇒ \(\widehat {OAC} = \widehat {OCA}\)
mà \(\widehat {OAC} = \widehat {CEI}\) (cùng phụ với \(\widehat {EAC}\))
⇒ \(\widehat {OCA} = \widehat {CEI}\)
ΔACE vuông tại C có CI là trung tuyến ứng với cạnh huyền
⇒ CI = IE ⇒ ΔCIE cân tại I
⇒ \(\widehat {ICE} = \widehat {CEI}\)
⇒ \(\widehat {ICE} = \widehat {OCA}\)
Lại có \(\widehat {ICE} + \widehat {ICA}\)= 90°
⇒ \(\widehat {ICA} + \widehat {OCA}\)= 90°
⇒ \(\widehat {OCI}\)= 90°
⇒ CI là tiếp tuyến của (O)
⇒ \[\widehat {ICQ} = \widehat {CBI}\]= 90° (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp chắn cung đó)
d, Gọi G = IB ∩ HC
Ta có: CG // BF (cùng ⊥ AB)
\(\frac{{IC}}{{CF}} = \frac{{IG}}{{GB}}\)
Suy ra: \(\frac{{IA}}{{CF}} = \frac{{IG}}{{GB}}\)
AI // BF (cùng ⊥ AB)
⇒ \[\widehat {AIG} = \widehat {GBF}\]
Xét tam giác IAG và tam giác GBF có:
\[\widehat {AIG} = \widehat {GBF}\]
\(\frac{{IA}}{{CF}} = \frac{{IG}}{{GB}}\)
⇒ ΔAIG ᔕ ΔFBG (c.g.c)
⇒\[\widehat {IGA} = \widehat {BGF}\]
⇒ A, G, F thẳng hàng
⇒ 3 đường thẳng IB, HC, AF đồng quy tại G.
