Cho đoạn thẳng AB, O là trung điểm AB. Trên cùng 1 nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ các tia Ax và By vuông góc với AB. Gọi C là 1 điểm thuộc tia Ax. Đường vuông góc với OC cắt By tại D. Chứng minh rằng CD = AC + BD.
Gọi K là giao điểm của CO cà BD
Vì O là trung điểm của AB nên OA = OB
Vì Ax ⊥ AB nên \(\widehat {CAO} = 90^\circ \)
Vì By ⊥ AB nên \(\widehat {KBO} = 90^\circ \)
Xét △AOC và △BOK có
\(\widehat {CAO} = \widehat {KBO}\left( { = 90^\circ } \right)\)
OA = OB (chứng minh trên)
\(\widehat {COA} = \widehat {BOK}\) (hai góc đối đỉnh)
Do đó △AOC = △BOK (g.c.g)
Suy ra OC = OK, AC = BK (các cặp cạnh tương ứng)
Xét △DOC và △DOK có
OC = OK (chứng minh trên)
\(\widehat {COD} = \widehat {DOK}\left( { = 90^\circ } \right)\)
OD là cạnh chung
Do đó △DOC = △DOK (c.g.c)
Suy ra CD = DK (hai cạnh tương ứng)
Ta có CD = DK = BD + BK = BD + AC
Vậy CD = AC + BD.