Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R). Từ A vẽ các tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE đến đường tròn (O). Gọi H là trung điểm của DE.

a) Chứng minh 5 điểm A, B, H, O, C cùng nằm trên một đường tròn.

b) Chứng minh HA là tia phân giác của góc BHC.

Lời giải

a) Vì AC là tiếp tuyến của (O) nên AC ⊥ OC, hay tam giác OAC vuông tại C

Suy ra C thuộc đường tròn đường kính AO (1)

Xét (O) có DE là dây cung, H là trung điểm của DE, suy ra DE ⊥ OH

Hay tam giác OHA vuông tại H

Suy ra H thuộc đường tròn đường kính AO (2)

Vì AB là tiếp tuyến của (O) nên AB ⊥ OB, hay tam giác OAB vuông tại B

Suy ra B thuộc đường tròn đường kính AO (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra 3 điểm C, H, B cùng nằm trên đường tròn đường kính AO.

Vậy 5 điểm A, B, H, O, C cùng nằm trên đường tròn đường kính AO.

b) • Xét (O) có AB, AC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại A

Suy ra \(\widehat {AOB} = \widehat {AOC}\) (4)

• Xét đường tròn đường kính AO có

\(\widehat {AOB},\widehat {AHB}\) là hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB

Suy ra \(\widehat {AOB} = \widehat {AHB}\) (5)

• Xét đường tròn đường kính AO có

\(\widehat {AOC},\widehat {AHC}\) là hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC

Suy ra \(\widehat {AOC} = \widehat {AHC}\) (6)

Từ (4), (5) và (6) suy ra  \(\widehat {AHB} = \widehat {AHC}\).

Suy ra HA là tia phân giác của góc BHC

Vậy HA là tia phân giác của góc BHC.