Cho dãy số (un) với un = căn bậc hai của n^2 + 1 - căn bậc hai của n. Mệnh đề đúng là A. lim n đến + vô cùng un = - vô cùng. B. lim n đến + vô cùng un = 1. C. lim n đến + vô cùng un =
39
26/07/2024
Cho dãy số (un) với un=√n2+1−√n. Mệnh đề đúng là
A. lim.
B. \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 1.
C. \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = + \infty .
D. \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 0.
Trả lời
Lời giải:
Đáp án đúng là: C
Ta có: \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {{n^2} + 1} - \sqrt n } \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {{n^2}\left( {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)} - \sqrt n } \right)
= \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {n\sqrt {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} - \sqrt n } \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {n\left( {\sqrt {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} - \frac{1}{{\sqrt n }}} \right)} \right]
Vì \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } n = + \infty và \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} - \frac{1}{{\sqrt n }}} \right) = 1 > 0.
Do đó \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {n\left( {\sqrt {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} - \frac{1}{{\sqrt n }}} \right)} \right] = + \infty . Vậy \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = + \infty .