Cho dãy số (u_n) biết u₁ = 1, u₂ = 2, u_{n + 1} = 2u_n – u_{n – 1} + 2 với n ≥ 2.

Tìm công thức của v_n, u_n tính theo n.

Từ kết quả câu b, ta có: v_n = v₁ + (n – 1)d = 1 + (n – 1) . 2 = – 1 + 2n.

Lại có: v₁ = u₂ – u₁

          v₂ = u₃ – u₂

          ...

          v_{n – 2} = u_{n – 1} – u_{n – 2}

          v_{n – 1} = u_n – u_{n – 1}

Cộng theo từng vế của n − 1 đẳng thức trên, ta có:

v₁ + v₂ + ... + v_{n – 2} + v_{n – 1} = – u₁ + u_n  

          \( \Leftrightarrow \frac{{\left( {{v_1} + {v_{n - 1}}} \right)\left( {n - 1} \right)}}{2} = - 1 + {u_n}\)

          \( \Leftrightarrow \frac{{\left[ {1 + \left( { - 1 + 2\left( {n - 1} \right)} \right)} \right]\left( {n - 1} \right)}}{2} = - 1 + {u_n}\)

          ⇔ (n – 1)² = u_n – 1

          ⇔ u_n = 1 + (n – 1)².

Vậy u_n = 1 + (n – 1)² và v_n = – 1 + 2n với mọi n ∈ ℕ^*.