Cho đa thức P(x) = x^2 + bx + c, trong đó b và c là các số nguyên. Biết đa thức x^4 + 6x^2 + 25 và đa thức

Câu 1: Cho đa thức P(x) = x² + bx + c, trong đó b và c là các số nguyên. Biết đa thức x⁴ + 6x² + 25 và đa thức 3x⁴ + 4x² + 28x + 5 đều chia hết cho P(x). Tính P(1).

Trả lời

Theo bài ra, ta có: (x4 + 6x2 + 25) ⋮ P(x) ⇔ 3(x4 + 6x2 + 25) ⋮ P(x)

Lại có: (3x4 + 4x2 + 28x + 5) ⋮ P(x)

Suy ra: [3(x4 + 6x2 + 25) − (3x4 + 4x2 + 28x + 5)] ⋮ P(x)

⇔ (3x4 + 18x2 + 75 − 3x4 − 4x2 − 28x – 5) ⋮ P(x)

⇔ (14x2 − 28x + 70) ⋮ P(x)

⇔ 14(x2 − 2x + 5) ⋮ P(x)

⇔ (x2 − 2x + 5) ⋮ P(x)

Hay (x4 − 2x + 5) ⋮ (x2 + bx + c)

Mà b, c là các số nguyên nên để (x4 − 2x + 5) ⋮ (x2 + bx + c) thì: b = ‒2, c = 5.

Khi đó, P(1) = 12 − 2.1 + 5 = 1 − 2 + 5 = 4.

Vậy P(1) = 4.