Cho đa thức bậc ba P(x) thỏa mãn: P(x) chia cho x^2 + 2 dư 2x − 1, chia cho x^2 + x dư 16x − 11

Câu 39: Cho đa thức bậc ba P(x) thỏa mãn: P(x) chia cho x² + 2 dư 2x − 1, chia cho x² + x dư 16x − 11. Tính P(100).

Trả lời

Ta có: P(x) chia cho x2 + 2 dư 2x – 1

⇒ P(x) = Q(x).(x2 + 2) + 2x – 1 (với Q(x) là đa thức bậc nhất)

⇒ P(x) = (ax + b)(x2 + 2) + 2x – 1

Vì P(x) chia x2 + x dư 16x – 11

⇒ P(x) – 16x + 11 chia hết cho x2 + x.

Đặt R(x) = P(x) – 16x + 11

Khi đó R(x) = (ax + b)(x2 + 2) – 14x + 10 chia hết cho x2 + x

Vì thế hai nghiệm x = 0 và x = −1 của x2 + x cũng là nghiệm của R(x), tức là:

$\{\begin{array}{c}\left(a.0+b\right)\left(0+2\right)-14.0+10=0\\ \left(-a+b\right)\left(1+2\right)-14.\left(-1\right)+10=0\end{array}$

⇔ $\{\begin{array}{c}a=3\\ b=-5\end{array}$

⇒ P(x) = (3x – 5)(x2 + 2) + 2x – 1

Vậy P(100) = 2905789