Cho đa thức bậc 2 có dạng P(x) = ax^2 + bx + c biết rằng P(x) thỏa mãn 2 điều kiện sau: P(0) = −2 và 4P(x) – P(2x – 1) = 6x – 6. Chứng minh rằng a + b + c = 0 và

Câu 40: Cho đa thức bậc 2 có dạng P(x) = ax² + bx + c biết rằng P(x) thỏa mãn 2 điều kiện sau: P(0) = −2 và 4P(x) – P(2x – 1) = 6x – 6. Chứng minh rằng a + b + c = 0 và xác định đa thức P(x).

Trả lời

Ta có P(0) = −2 ⇒ a.0 + b.0 + c = −2 ⇒ c = −2

Ta có 4P(x) – P(2x – 1) = 6x – 6

⇔ 4(ax2 + bx + c) – [a(2x – 1)2 + b(2x – 1) + c] = 6x – 6

⇔ 4ax2 + 4bx + 4c – a(4x2 – 4x + 1) – 2bx + b – c = 6x – 6

⇔ 4ax2 + 4bx + 4c – 4ax2 + 4ax – a – 2bx + b – c = 6x – 6

⇔ 4ax + 2bx + (−a + b + 3c) = 6x – 6

⇔ (4a + 2b)x + (−a + b + 3c) = 6x – 6

⇔ $\{\begin{array}{c}4a+2b=6\\ -a+b+3c=-6\end{array}$

⇔ $\{\begin{array}{c}4a+2b=6\\ -a+b=-6-3.\left(-2\right)\end{array}$

⇔  $\{\begin{array}{c}4a+2b=6\\ -a+b=0\end{array}$

⇔ $\{\begin{array}{c}a=1\\ b=1\end{array}$

Ta có: a + b + c = 1 + 1 + (−2) = 0 (đpcm)

Vậy P(x) = x2 + x – 2.