Cho (d1): y = (2m + 1)x – 2m – 3 và (d2): y = (m – 1)x + m

Đề bài: Cho (d₁): y = (2m + 1)x – 2m – 3 và (d₂): y = (m – 1)x + m. Tìm m để (d₁) và (d₂) cắt nhau tại 1 điểm nằm trên trục hoành.

Trả lời

Hướng dẫn giải:

• Để (d₁): y = (2m + 1)x – 2m – 3 và (d₂): y = (m – 1)x + m cắt nhau thì 2m + 1 ≠ m – 1

Û m ≠ ‒2.

• Để (d₁) cắt trục hoành thì 2m + 1 ≠ 0 Û $m\ne -\frac{1}{2}$ .

Gọi A(x_A; 0) là giao điểm của (d₁) với trục hoành.

Khi đó 0 = (2m + 1)x_A – 2m – 3

Þ $x_A=\frac{2m+3}{2m+1}$ . Suy ra $A\left(\frac{2m+3}{2m+1};0\right)$ .

• Để (d₂) cắt trục hoành thì m – 1 ≠ 0 Û m ≠ 1.

Gọi B(x_B; 0) là giao điểm của (d₂) với trục hoành.

Khi đó 0 = (m – 1)x_B + m

Þ $x_B=\frac{-m}{m-1}$ . Suy ra $B\left(\frac{-m}{m-1};0\right)$ .

Để (d₁) và (d₂) cắt nhau tại 1 điểm trên trục hoành thì A trùng B.

$\iff \frac{2m+3}{2m+1}=\frac{-m}{m-1}$

Þ (2m + 3).(m – 1) = (2m + 1).(‒m)

Û 2m² + m – 3 = –2m² – m

Û 4m² + 2m – 3 = 0

Û $m=\frac{-1\pm \sqrt{13}}{4}$  (thỏa mãn).

Vậy $m=\frac{-1\pm \sqrt{13}}{4}$  thỏa mãn yêu cầu đề bài