Cho (d): y = mx – 2 và (P): y = –x².

a) Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung với mọi giá trị của m.

b) Tìm m sao cho y₁ + y₂ = –8.y₁.y₂.

Lời giải

a) Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): mx – 2 = –x².

⇔ x² + mx – 2 = 0   (1)

Theo Viet: \(S = {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = \frac{{ - m}}{1} = - m\).

                  \(P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{ - 2}}{1} = - 2 < 0\).

Suy ra phương trình (1) luôn có 2 nghiệm trái dấu.

Vậy (d) luôn cắt (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung với mọi giá trị của m.

b) Ta có y₁ = mx₁ – 2; y₂ = mx₂ – 2.

Theo đề, ta có y₁ + y₂ = –8.y₁.y₂.

⇔ mx₁ – 2 + mx₂ – 2 = –8(mx₁ – 2)(mx₂ – 2).

⇔ m(x₁ + x₂) – 4 = –8(m²x₁x₂ – 2mx₁ – 2mx₂ + 4).

⇔ m.(–m) – 4 = –8[m².(–2) – 2m(x₁ + x₂) + 4].

⇔ –m² – 4 = –8[–2m² – 2m.(–m) + 4].

⇔ –m² – 4 = –8(–2m² + 2m² + 4).

⇔ –m² – 4 = –32.

⇔ m² – 28 = 0.

\( \Leftrightarrow m = \pm 2\sqrt 7 \).