Cho (d): y = mx – 2 và (P): y = –x^2. a) Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm nằm

Câu 2: Cho (d): y = mx – 2 và (P): y = –x².

a) Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung với mọi giá trị của m.

b) Tìm m sao cho y₁ + y₂ = –8.y₁.y₂.

Trả lời

a) Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): mx – 2 = –x².

⇔ x² + mx – 2 = 0   (1)

Theo Viet: $S=x_1+x_2=\frac{-b}{a}=\frac{-m}{1}=-m$ .

                   $P=x_1{x}_2=\frac{c}{a}=\frac{-2}{1}=-2<0$.

Suy ra phương trình (1) luôn có 2 nghiệm trái dấu.

Vậy (d) luôn cắt (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung với mọi giá trị của m.

b) Ta có y₁ = mx₁ – 2; y₂ = mx₂ – 2.

Theo đề, ta có y₁ + y₂ = –8.y₁.y₂.

⇔ mx₁ – 2 + mx₂ – 2 = –8(mx₁ – 2)(mx₂ – 2).

⇔ m(x₁ + x₂) – 4 = –8(m²x₁x₂ – 2mx₁ – 2mx₂ + 4).

⇔ m.(–m) – 4 = –8[m².(–2) – 2m(x₁ + x₂) + 4].

⇔ –m² – 4 = –8[–2m² – 2m.(–m) + 4].

⇔ –m² – 4 = –8(–2m² + 2m² + 4).

⇔ –m² – 4 = –32.

⇔ m² – 28 = 0.

$\iff m=\pm 2\sqrt{7}$.

Vậy $m=\pm 2\sqrt{7}$  thỏa mãn yêu cầu bài toán.