Cho các số x, y thõa mãn đẳng thức 3x² + 3y² + 4xy + 2x – 2y + 2 = 0.

Tính  M = (x + y)²⁰¹⁰ + (x + 2)²⁰¹¹ + (y – 1)²⁰¹².

Ta có 3x² + 3y² + 4xy + 2x – 2y + 2 = 0

⇔ (2x² + 4xy + 2y²) + (x² + 2x + 1) + (y² – 2y + 1) = 0

⇔ 2(x + y)² + (x + 1)² + (y – 1)² = 0

Vì (x + y)² ≥ 0 với mọi x, y

     (x + 1)² ≥ 0 với mọi x

     (y – 1)² ≥ 0 với mọi y

Suy ra 2(x + y)² + (x + 1)² + (y – 1)² ≥ 0 với mọi x, y

Do đó phương trình có nghiệm khi \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 0\\x + 1 = 0\\y - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 1\end{array} \right.\)

Thay x = – 1, y = 1 vào M ta được

M = (x + y)²⁰¹⁰ + (x + 2)²⁰¹¹ + (y – 1)²⁰¹²

M = [(– 1) + 1]²⁰¹⁰ + [(– 1) + 2]²⁰¹¹ + (1 – 1)²⁰¹²

M = 0 + 1 + 0 = 1

Vậy M = 1.