Cho các số x, y thỏa mãn: 2x+3y=13. Tính GTNN của Q= x2 + y2

Đề bài: Cho các số x, y thỏa mãn: 2x+3y=13. Tính GTNN của Q= x² + y²

Trả lời

Hướng dẫn giải:

2x + 3y = 13

$\Rightarrow y=\frac{13-2x}{3}$

Ta có:

$\begin{array}{l}Q=x^2+y^2=x^2+{\left(\frac{13-2x}{3}\right)}^2=x^2+{\left(\frac{13}{3}-\frac{2}{3}x\right)}^2\\ =x^2+\frac{169}{9}-\frac{52}{9}x+\frac{4}{9}{x}^2=\frac{13}{9}{x}^2-\frac{52}{9}x+\frac{169}{9}\\ =\frac{13}{9}\left(x^2-4x+13\right)=\frac{13}{9}\left(x^2-4x+4+9\right)=\frac{13}{9}{\left(x-2\right)}^2+13\end{array}$

Mà:  (x – 2)² ≥ 0 với mọi số thực x

⇒ $\frac{13}{9}{\left(x-2\right)}^2$≥ 0 với mọi số thực x

⇒ $\frac{13}{9}{\left(x-2\right)}^2+13$ ≥ 13 với mọi số thực x

⇒ Q ≥ 13 với mọi số thực x

Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 13.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x – 2 = 0 ⇒ x = 2