Cho các số thực x, y, z ≥ 0 thỏa mãn x + y + z = 19 và căn bậc hai của x + căn bậc hai của y + căn bậc hai của z = 5. Tìm giá trị lớn nhất của x.
17
02/07/2024
Cho các số thực x, y, z ≥ 0 thỏa mãn x + y + z = 19 và \(\sqrt x + \sqrt y + \sqrt z = 5\). Tìm giá trị lớn nhất của x.
Trả lời
Lời giải:
Áp dụng BĐT: \[2({a^2} + {b^2}) \ge {(a + b)^2}\]
Ta có: \[2(19 - x) = 2(y + z) \ge {\left( {\sqrt y + \sqrt z } \right)^2} = {\left( {5 - \sqrt x } \right)^2} = 25 - 10\sqrt x + x\]
\[ \Leftrightarrow 3x - 10\sqrt x - 13 \le 0\]
\[ \Leftrightarrow \left( {3\sqrt x - 13} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right) \le 0\]
\[ \Leftrightarrow 3\sqrt x - 13 \le 0\]
\[ \Leftrightarrow \sqrt x \le \frac{{13}}{3} \Leftrightarrow x \le \frac{{169}}{9}\]
Vậy GTLN của \[x = \frac{{169}}{9}\] khi và chỉ khi \[y = z = \frac{1}{9}\].
