Cho các số thực dương x, y, z, thỏa mãn x + 2y + 3z = 18

Đề bài: Cho các số thực dương x, y, z, thỏa mãn x + 2y + 3z = 18. Chứng minh rằng:

$\frac{2y+3z+5}{1+x}+\frac{3z+x+5}{1+2y}+\frac{x+2y+5}{1+3z}\ge \frac{51}{7}$

Trả lời

Hướng dẫn giải:

$$\begin{gathered} \frac{2y+3z+5}{1+x}+\frac{3z+x+5}{1+2y}+\frac{x+2y+5}{1+3z} \\ =\frac{2y+3z+5}{1+x}+1+\frac{3z+x+5}{1+2y}+1+\frac{x+2y+5}{1+3z}+1-3 \\ =(x+2y+3z+6)(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+2y}+\frac{1}{1+3z})-3\ge 24.\frac{9}{x+2y+3z+3}-3 \\ =24.\frac{9}{21}-3=\frac{51}{7} \end{gathered}$$