Cho các số a, b, c khác nhau đôi một và thoả mãn a² – 2b = b² – 2c = c² – 2a. Tính giá trị của biểu thức: A = (a + b + 2)(b + c + 2)(c + a + 2).

Ta có: a² – 2b = c² – 2a

⇔ a² – c² = 2b – 2a

⇔ (a – c)(a + c) = 2(b – a)

⇔ a + c = \(\frac{{{\rm{2(b - a)}}}}{{{\rm{a - c}}}}\)

⇔ a + c + 2 = \(\frac{{{\rm{2(b - a)}}}}{{{\rm{a - c}}}}\)+2

⇔ a + c + 2 = \(\frac{{{\rm{2(b - a) + 2(a - c)}}}}{{{\rm{a - c}}}}\)

⇔ a + c + 2 = \(\frac{{{\rm{2b - 2a + 2a - 2c}}}}{{{\rm{a - c}}}}\)

⇔ a + c + 2 = \(\frac{{{\rm{2(b - c)}}}}{{{\rm{a - c}}}}\)

Chứng minh tương tự ta có:

a + b + 2 = \(\frac{{{\rm{2(a - c)}}}}{{{\rm{a - b}}}}\) và b + c + 2 = \(\frac{{{\rm{2(b - a)}}}}{{{\rm{b - c}}}}\)

Suy ra A = (a + b + 2)(b + c + 2)(c + a + 2)

           A = \(\frac{{{\rm{2(a - c)}}}}{{{\rm{a - b}}}}\). \(\frac{{{\rm{2(b - a)}}}}{{{\rm{b - c}}}}\).\(\frac{{{\rm{2(b - c)}}}}{{{\rm{a - c}}}}\)

           A = – 8

Vậy A = – 8.