Cho các điểm A(1; – 2), B(– 2; 3) và C(0; 4). Tính diện tích tam giác ABC.

\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;5} \right)\\\overrightarrow {BC} = \left( {2;1} \right)\\\overrightarrow {CA} = \left( {1; - 6} \right)\end{array} \right.\)⇒ \(\left\{ \begin{array}{l}AB = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {5^2}} = \sqrt {34} \\BC = \sqrt {{2^2} + {1^2}} = \sqrt 5 \\CA = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} = \sqrt {37} \end{array} \right.\)

Nửa chu vi tam giác ABC là: p = \(\frac{{AB + BC + CA}}{2} = \frac{{\sqrt {34} + \sqrt 5 + \sqrt {37} }}{2}\)

Áp dụng công thức Hê – rông ta có:

S_ABC = \(\sqrt {p\left( {p - AB} \right)\left( {p - BC} \right)\left( {p - CA} \right)} \)

=\(\sqrt {\frac{{\sqrt {34} + \sqrt 5 + \sqrt {37} }}{2}\left( {\frac{{\sqrt {34} + \sqrt 5 - \sqrt {37} }}{2}} \right)\left( {\frac{{\sqrt {37} + \sqrt 5 - \sqrt {34} }}{2}} \right)\left( {\frac{{\sqrt {37} - \sqrt 5 + \sqrt {34} }}{2}} \right)} \)

= \[\frac{{\sqrt {\left[ {{{\left( {\sqrt {34} + \sqrt 5 } \right)}^2} - 37} \right]\left[ {37 - {{\left( {\sqrt 5 - 34} \right)}^2}} \right]} }}{4}\]

= \[\frac{{\sqrt {\left( {34 + 2\sqrt {170} + 5 - 37} \right)\left( {37 - 5 + 2\sqrt {170} - 34} \right)} }}{4}\]

= \[\frac{{\sqrt {\left( {2 + 2\sqrt {170} } \right)\left( {2\sqrt {170} - 2} \right)} }}{4}\]

= \[\frac{{\sqrt {4.170 - 4} }}{4}\]

= \[\frac{{\sqrt {169} }}{2}\]

= \[\frac{{13}}{2}\].