Cho biểu thức P = (x^2 + x) / (x^2 - 2x + 1)

Đề bài: Cho biểu thức $P=\frac{x^2+x}{x^2-2x+1}:\left(\frac{x+1}{x}-\frac{1}{1-x}+\frac{2-x^2}{x^2-x}\right)$ .

a) Rút gọn P.

b) Tìm x để P < 1.

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x > 2.

Trả lời

Hướng dẫn giải:

a) $P=\frac{x^2+x}{x^2-2x+1}:\left(\frac{x+1}{x}-\frac{1}{1-x}+\frac{2-x^2}{x^2-x}\right)$

$$\begin{gathered} =\frac{x\left(x+1\right)}{{\left(x-1\right)}^2}:\left[\frac{x+1}{x}+\frac{1}{x-1}+\frac{2-x^2}{x\left(x-1\right)}\right] \\ =\frac{x\left(x+1\right)}{{\left(x-1\right)}^2}:\left[\frac{\left(x+1\right)\left(x-1\right)+x+2-x^2}{x\left(x-1\right)}\right] \\ =\frac{x\left(x+1\right)}{{\left(x-1\right)}^2}:\frac{x+1}{x\left(x-1\right)}=\frac{x\left(x+1\right)}{{\left(x-1\right)}^2}.\frac{x\left(x-1\right)}{x+1}=\frac{x^2}{x-1} \end{gathered}$$

b) Ta có $P<1\iff \frac{x^2}{x-1}<1$

$\iff \frac{x^2}{x-1}-1<0\iff \frac{x^2-x+1}{x-1}<0$

$\iff \frac{{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}}{x-1}<0\iff x-1<0$ (vì ${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}\ge \frac{3}{4}>\mathrm{0,}\forall x\in ℝ$ ).

⇔ x < 1.

Vậy x < 1 thì P < 1.

c) Vì x > 2 nên x – 2 > 0.

Do đó x – 1 > x – 2 > 0.

Ta có $P=\frac{x^2}{x-1}=\frac{x^2-1+1}{x-1}=x+1+\frac{1}{x-1}=x-1+\frac{1}{x-1}+2$ .

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

$x-1+\frac{1}{x-1}\ge 2\sqrt{\frac{x-1}{x-1}}=2\sqrt{1}=\mathrm{2,}\forall x>2$ .

$\iff x-1+\frac{1}{x-1}+2\ge 2+2=4$.

⇔ P ≥ 4.

Dấu “=” xảy ra ⇔ (x – 1)² = 1 ⇔ x – 1 = 1 hoặc x – 1 = –1.

⇔ x = 2 (loại vì x > 2) hoặc x = 0 (loại vì x > 2).

Vậy P không có giá trị nhỏ nhất khi x > 2.