Cho biểu thức \[P = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\].

a) Tìm x nguyên để P nhận giá trị nguyên.

b) Tìm x sao cho P > 1.

Lời giải

a) Với x ≥ 0, x ≠ 1 ta có:

\[P = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} = \frac{{\sqrt x - 1 + 2}}{{\sqrt x - 1}} = 1 + \frac{2}{{\sqrt x - 1}}\].

Với x nguyên, để P nguyên thì \[\frac{2}{{\sqrt x - 1}}\] nguyên

\( \Leftrightarrow \sqrt x - 1 \in U\left( 2 \right) = \left\{ {1; - 1;2; - 2} \right\}\)

\( \Leftrightarrow \sqrt x \in \left\{ {2;0;3; - 1} \right\}\)

Mà \(\sqrt x \ge 0\) với mọi x ≥ 0 nên \(\sqrt x \in \left\{ {2;0;3} \right\}\)

Þ x ∈ {4; 0; 9}.

Vậy x ∈ {4; 0; 9} thỏa mãn yêu cầu đề bài.

b) Với x ≥ 0, x ≠ 1 ta có, để P > 1

\( \Leftrightarrow 1 + \frac{2}{{\sqrt x - 1}} > 1 \Leftrightarrow \frac{2}{{\sqrt x - 1}} > 0 \Leftrightarrow \sqrt x - 1 > 0 \Leftrightarrow \sqrt x > 1 \Leftrightarrow x > 1\) (thỏa mãn)

Vậy x > 1 thỏa mãn yêu cầu đề bài.