Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{1}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{x - 1}}} \right).\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{2\sqrt x + 1}}\).

a. Rút gọn P.

b. Tìm m để phương trình P = m có nghiệm.

a. ĐK: \(x \ge 0;x \ne 1\)

\(P = \left( {\frac{1}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{x - 1}}} \right).\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{2\sqrt x + 1}}\)

\(P = \frac{{\sqrt x + 1 + \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}.\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{2\sqrt x + 1}}\)

\(P = \frac{{2\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 1}}.\frac{{\sqrt x }}{{2\sqrt x + 1}}\)

\(P = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}\).

b. P = m \( \Rightarrow \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} = m\)

Vì \(\sqrt x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x + 1 \ge 1 \Rightarrow \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} \ge 0\)

⇒ PT P = m có nghiệm ⟺ m ≥ 0.