Cho biểu thức A = (căn x + 2) / (1 + căn x)

Đề bài: Cho biểu thức A=√x+21+√x  và B=(2√xx−√x−6+√x√x−3):√x√x−3  với x > 0, x ≠ 9.

1. Tính giá trị biểu thức A khi x = 16.

2. Rút gọn biểu thức B.

3. Tìm x để P = A.B là số nguyên tố.

Trả lời

Hướng dẫn giải:

1)

Thay x = 16 vào $A=\frac{\sqrt{x}+2}{1+\sqrt{x}}$  ta có: $A=\frac{\sqrt{16}+2}{1+\sqrt{16}}=\frac{6}{5}$

2)

Với x > 0, x ≠ 9 ta có:

$\begin{array}{l}B=\left(\frac{2\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}-6}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}\right):\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}\\ =\left(\frac{2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}\right):\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}\\ =\left(\frac{2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}+\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\right):\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}\\ =\frac{2\sqrt{x}+\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}:\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}\\ =\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+4\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}:\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}\end{array}$

$=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+4\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}.\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}+2}$

3)

$P=A.B=\frac{\sqrt{x}+2}{1+\sqrt{x}}.\frac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}+2}=\frac{\sqrt{x}+4}{1+\sqrt{x}}=1+\frac{3}{\sqrt{x}+1}$

Do đó, 1 < P ≤ 3, nên để P là số nguyên tố thì P = 2 hoặc P = 3

$$\begin{gathered} P=3\Rightarrow \frac{3}{\sqrt{x}+1}=2\Rightarrow \sqrt{x}+1=\frac{3}{2} \\ \Rightarrow \sqrt{x}=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{1}{4} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} P=2\Rightarrow \frac{3}{\sqrt{x}+1}=1\Rightarrow \sqrt{x}+1=3 \\ \Rightarrow \sqrt{x}=2\Rightarrow x=4 \end{gathered}$$