Cho biểu thức \(A = \left( {\frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{4{\rm{x}}}}{{x - 4}}} \right):\frac{{4\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\sqrt x - 2}}\) với x ≥ 0, x ≠ 4.

a) Rút gọn biểu thức A.

b) So sánh A và \(\sqrt A \).

Lời giải

a) Với x ≥ 0, x ≠ 4 ta có

\(A = \frac{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right) - \left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right) + 4{\rm{x}}}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}:\frac{{4\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\sqrt x - 2}}\)

\(A = \frac{{x + 4\sqrt x + 4 - x + 4\sqrt x - 4 + 4{\rm{x}}}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}:\frac{{4\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\sqrt x - 2}}\)

\(A = \frac{{4x + 8\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}:\frac{{4\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\sqrt x - 2}}\)

\(A = \frac{{4\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}:\frac{{4\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\sqrt x - 2}}\)

\(A = \frac{{4\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)}}.\frac{{\sqrt x - 2}}{{4\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\)

\(A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}\).

b) Với x ≥ 0, x ≠ 4 ta có

Với x ≥ 0, x ≠ 4 thì \(\sqrt x \ge 0\)

Suy ra \(\sqrt x + 2 \ge 0\)

Mà – 2 < 0, suy ra A – 1 < 0

Lại có A > 0

Suy ra 0 < A < 1

Do đó \[{\rm{A}} \le \sqrt A \]

Vậy \[{\rm{A}} \le \sqrt A \].