Cho biểu thức:

\(A = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}} + \frac{2}{{\sqrt x + 3}} - \frac{{9\sqrt x - 3}}{{x + \sqrt x - 6}}\) và \(B = \frac{{x - \sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\) với x ≥ 0, x ≠ 1, x ≠ 4.

a) Tính giá trị biểu thức B khi x = 9.

b) Rút gọn A.

c) Chứng minh rằng khi A > 0 thì B ≥ 3.

Lời giải

a) Thay x = 9 (thỏa mãn) vào B ta có

\(B = \frac{{x - \sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} = \frac{{9 - \sqrt 9 + 1}}{{\sqrt 9 - 1}} = \frac{{9 - 3 + 1}}{{3 - 1}} = \frac{7}{2}\).

b) Với x ≥ 0, x ≠ 1, x ≠ 4, ta có

\(A = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}} + \frac{2}{{\sqrt x + 3}} - \frac{{9\sqrt x - 3}}{{x + \sqrt x - 6}}\)

\(A = \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right) + 2\left( {\sqrt x - 2} \right) - 9\sqrt x + 3}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\)

\(A = \frac{{x + 4\sqrt x + 3 + 2\sqrt x - 4 - 9\sqrt x + 3}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\)

\(A = \frac{{x - 3\sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\)

\(A = \frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 3}}\).

c) Với x ≥ 0, x ≠ 1, x ≠ 4, ta có:

A > 0  \[ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 3}} > 0\]

\( \Leftrightarrow \sqrt x - 1 > 0\) (vì \(\sqrt x + 3 > 0\))

\( \Leftrightarrow \sqrt x > 1\)

⇔ x > 1

Ta có \(B = \frac{{x - \sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right) + 1}}{{\sqrt x - 1}} = \sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x - 1}}\)

Do \(\sqrt x > 1\) nên \(\sqrt x - 1 > 0\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có

\(B = \sqrt x - 1 + \frac{1}{{\sqrt x - 1}} + 1 \ge 2\sqrt {\left( {\sqrt x - 1} \right).\frac{1}{{\sqrt x - 1}}} + 1 = 2 + 1 = 3\)

Dấu “ = ” xảy ra khi \(\sqrt x - 1 = \frac{1}{{\sqrt x - 1}}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x - 1} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \sqrt x - 1 = 1\) (do \(\sqrt x - 1 > 0\))

Û x = 4 (thỏa mãn).

Vậy khi A > 0 thì B ≥ 3.