Cho biểu thức \[{\rm{A}} = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}\] và \(B = \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x - 1}}\) với x ≥ 0, x ≠1, x ≠ 9.

a) Tính giá trị của B khi x = 25.

b) Rút gọn biểu thức M = A.B.

c) Tìm x sao cho \(M < \sqrt M \).

Lời giải

a) Thay x = 25 (thỏa mãn điều kiện) vào B ta có

\(B = \frac{{\sqrt {25} - 3}}{{\sqrt {25} - 1}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\).

b) Với x ≥ 0, x ≠1, x ≠ 9, ta có M = A . B

\[M = \left( {\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}} \right).\frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x - 1}}\]

     \[ = \left[ {\frac{{2\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right) + \sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}} \right].\frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x - 1}}\]

     \[ = \frac{{2x - 6\sqrt x + x + 3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}.\frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x - 1}}\]

     \[ = \frac{{3x - 3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}.\frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x - 1}}\]

     \[ = \frac{{3x - 3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\]

     \[ = \frac{{3\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}}\].

c) Với x ≥ 0, x ≠1, x ≠ 9 thì \(\sqrt M \) luôn xác định.

Để \(M < \sqrt M \)

\( \Leftrightarrow M - \sqrt M < 0\)

\( \Leftrightarrow \sqrt M \left( {\sqrt M - 1} \right) < 0\)

\( \Leftrightarrow \sqrt M - 1 < 0\)

\( \Leftrightarrow \sqrt M < 1\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {\frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}}} < 1\)

\( \Leftrightarrow \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} < 1\)

\( \Leftrightarrow 3\sqrt x < \sqrt x + 3\)

\( \Leftrightarrow 2\sqrt x < 3\)

\( \Leftrightarrow \sqrt x < \frac{3}{2}\)

\( \Leftrightarrow x < \frac{9}{4}\)

Kết hợp điều kiện xác định ta được \(0 \le x < \frac{9}{4},m \ne 1\)