Cho bất phương trình m1−x+121−x2≥16x+3m1+x+2m+15. Tìm các giá trị nguyên của tham số m∈−9 ; 9 để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x∈−1 ;...

Bpt: m1−x+121−x2≥16x+3m1+x+2m+15m1−x−31+x−2≥28x−61−x2+15 (1). Đặt t=1−x−31+x với x∈−1 ; 1.t'=−121−x−321+x<0 ∀x∈−1 ; 1.Suy ra t nghịch biến trên −1 ; 1.Nên t1≤t≤t−1 <=> −32≤t≤2 Ta có t2=8x+10−61−x2 <=> 2t2−5=28x−61−x2+15.Khi đó (1) trở thành: mt−2

Cho bất phương trình m căn 1-x +12 căn 1-x^2

47 29/04/2024

Cho bất phương trình

$m \sqrt{1 - x} + 12 \sqrt{1 - x^{2}} \geq 16 x + 3 m \sqrt{1 + x} + 2 m + 15$ . Tìm các giá trị nguyên của tham số

$m \in [- 9; 9]$ để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi

$x \in [- 1; 1]$ .

Trả lời

Bpt:

$m \sqrt{1 - x} + 12 \sqrt{1 - x^{2}} \geq 16 x + 3 m \sqrt{1 + x} + 2 m + 15$

$m (\sqrt{1 - x} - 3 \sqrt{1 + x} - 2) \geq 2 (8 x - 6 \sqrt{1 - x^{2}}) + 15$ (1).
 Đặt

$t = \sqrt{1 - x} - 3 \sqrt{1 + x}$ với

$x \in [- 1; 1]$ .

$t^{'} = - \frac{1}{2 \sqrt{1 - x}} - \frac{3}{2 \sqrt{1 + x}} < 0 \forall x \in (- 1; 1)$ .
Suy ra t nghịch biến trên

$[- 1; 1]$ .
Nên

$t (1) \leq t \leq t (- 1)$ <=>

$- 3 \sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}$
 Ta có

$t^{2} = 8 x + 10 - 6 \sqrt{1 - x^{2}}$ <=>

$2 t^{2} - 5 = 2 (8 x - 6 \sqrt{1 - x^{2}}) + 15$ .
Khi đó (1) trở thành:

$m (t - 2) \geq 2 t^{2} - 5$ với

$t \in [- 3 \sqrt{2}; \sqrt{2}]$ .

<=>

$m \leq \frac{2 t^{2} - 5}{t - 2}$ (2)với

$t \in [- 3 \sqrt{2}; \sqrt{2}]$ vì

$t \in [- 3 \sqrt{2}; \sqrt{2}]$ nên

$(t - 2) < 0$
(2) với (vì nên ).
 Xét hàm số

$f (t) = \frac{2 t^{2} - 5}{t - 2}$ trên đoạn

$[- 3 \sqrt{2}; \sqrt{2}]$ .

$f^{'} (t) = \frac{4 t (t - 2) - (2 t^{2} - 5)}{{(t - 2)}^{2}} = \frac{2 t^{2} - 8 t + 5}{{(t - 2)}^{2}}$ .

$f^{'} (t) = 0$ <=>

$[\begin{array}{l} t = \frac{4 + \sqrt{6}}{2} (l o ạ i) \\ t = \frac{4 - \sqrt{6}}{2} \end{array}$

$f (- 3 \sqrt{2}) = \frac{62 - 93 \sqrt{2}}{14} \approx - 4, 97$ ;

$f (\sqrt{2}) = \frac{2 + \sqrt{2}}{2} \approx 1, 7$ ;

$f (\frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = 8 - 2 \sqrt{6} \approx 3, 1$
(1) nghiệm đúng với mọi

$x \in [- 1; 1]$ <=> (2) nghiệm đúng với mọi

$t \in [- 3 \sqrt{2}; \sqrt{2}]$

<=>

$m \leq \min_{[- 3 \sqrt{2}; \sqrt{2}]} f (t) = f (- 3 \sqrt{2}) = \frac{62 - 93 \sqrt{2}}{14} \approx - 4, 97$
Kết hợp với điều kiện bài toán ta có:

$\{\begin{cases} m \in ℤ \\ m \in [- 9; 9] \\ m \leq \frac{62 - 93 \sqrt{2}}{14} \approx - 4, 97 \end{cases}$

<=>

$m \in \{- 9; - 8; - 7; - 6; - 5\}$ .
Vậy

$m \in \{- 9; - 8; - 7; - 6; - 5\}$ .

Bộ 20 đề thi giữa kì 2 Toán 12 có đáp án năm 2022-2023

Xem tất cả

Cho bất phương trình m căn 1-x +12 căn 1-x^2

Trả lời

Câu hỏi cùng chủ đề

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại B và C. Hai mặt phẳng

Cho hàm số y=2-2/x-1 có đồ thị (C) và điểm M(3;-1). Gọi D là tập hợp tất cả các đường thẳng đi qua điểm

Biết điểm M (xM, yM) thuộc đồ thị (C): 2x-2/x+1 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng

Cho hình chóp S.ABC có các cạnh AB=a,AC = a căn 3 ,SB>2a

Cho hai tam giác đều ABC và ABD có độ dài cạnh bằng 1 và nằm trong hai mặt phẳng vuông góc

Hàm số g(X)=f(X)-x^3/3+x^2-x+2 có bao nhiêu điểm cực đại?

Cho hàm số y=2x-1/x+1 có đồ thị (C) và đường thẳng d:y=-x+m

Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số y=(x^2+x+m)^2

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA=a và SA vuông góc

Gọi A,B,C là các điểm cực trị của đồ thị hàm số y=x^4-2x^2+4. Bán kính đường tròn

Danh mục