Cho ba mặt phẳng song song (P), (Q), (R). Hai cát tuyến bất kì a và a’ cắt ba mặt phẳng song

Hoạt động 5 trang 108 Toán 11 Tập 1: Cho ba mặt phẳng song song (P), (Q), (R). Hai cát tuyến bất kì a và a’ cắt ba mặt phẳng song song lần lượt tại các điểm A, B, C và A’, B’, C’. Gọi B₁ là giao điểm của AC’ với mặt phẳng (Q) (Hình 66).

a) Nêu vị trí tương đối của BB₁ và CC’; B₁B’ và AA’.

b) Có nhận xét gì về các tỉ số: $\frac{AB}{A{B}_1},\frac{BC}{B_1{C}^{\text{'}}}$  và $\frac{CA}{C^{\text{'}}A};$$\frac{A{B}_1}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}},\frac{B_1{C}^{\text{'}}}{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$  và $\frac{C^{\text{'}}A}{C^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}$ .

c) Từ kết quả câu a) và câu b), so sánh các tỉ số $\frac{AB}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}},\frac{BC}{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$  và $\frac{CA}{C^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}$ .

Trả lời

a) Ta có: B ∈ (ACC’) và B ∈ (Q) nên B là giao điểm của (ACC’) và (Q);

               B­₁ ∈ (ACC’) và B₁ ∈ (Q) nên B₁ là giao điểm của (ACC’) và (Q).

Do đó (ACC’) ∩ (Q) = BB₁.

Tương tự, ta có (ACC’) ∩ (R) = CC’.

Ta có: (Q) // (R);

           (ACC’) ∩ (Q) = BB₁;

           (ACC’) ∩ (R) = CC’.

Suy ra BB₁ // CC’.

Chứng minh tương tự ta cũng có: (P) // (Q);

                                                      (AA’C’) ∩ (P) = AA’;

                                                      (AA’C’) ∩ (Q) = B₁B’.

Suy ra B₁B’ // AA’.

b) Trong mp(ACC’), xét DACC’ có: BB₁ // CC’ nên theo định lí Thalès ta có:

• $\frac{AB}{AC}=\frac{A{B}_1}{A{C}^{\text{'}}}$ , suy ra $\frac{AB}{A{B}_1}=\frac{CA}{C^{\text{'}}A}$ ;

• $\frac{BC}{AC}=\frac{B_1{C}^{\text{'}}}{A{C}^{\text{'}}}$ , suy ra $\frac{BC}{B_1{C}^{\text{'}}}=\frac{CA}{C^{\text{'}}A}$ .

Do đó $\frac{AB}{A{B}_1}=\frac{BC}{B_1{C}^{\text{'}}}=\frac{CA}{C^{\text{'}}A}$ .

Trong mặt phẳng (AA’C’), xét AA’C’có: B₁B’ // AA’ nên theo định lí Thalès ta có:

• $\frac{A{B}_1}{A{C}^{\text{'}}}=\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$ , suy ra $\frac{A{B}_1}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=\frac{C^{\text{'}}A}{C^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}$ ;

• $\frac{B_1{C}^{\text{'}}}{A{C}^{\text{'}}}=\frac{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$ , suy ra $\frac{B_1{C}^{\text{'}}}{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{C^{\text{'}}A}{C^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}$ .

Do đó $\frac{A{B}_1}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=\frac{B_1{C}^{\text{'}}}{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{C^{\text{'}}A}{C^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}$ .

c) Theo chứng minh ở câu b ta có:

•  $\frac{AB}{AC}=\frac{A{B}_1}{A{C}^{\text{'}}}$và $\frac{A{B}_1}{A{C}^{\text{'}}}=\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$  nên $\frac{AB}{AC}=\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\left(=\frac{A{B}_1}{A{C}^{\text{'}}}\right)$

Do đó $\frac{AB}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=\frac{CA}{C^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}$.

• $\frac{BC}{AC}=\frac{B_1{C}^{\text{'}}}{A{C}^{\text{'}}}$  và $\frac{B_1{C}^{\text{'}}}{A{C}^{\text{'}}}=\frac{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$ nên $\frac{BC}{AC}=\frac{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\left(=\frac{B_1{C}^{\text{'}}}{A{C}^{\text{'}}}\right)$

Do đó $\frac{BC}{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{CA}{C^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}$ .

Vậy $\frac{AB}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=\frac{BC}{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{CA}{C^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}$ .

Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian

Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song

Bài 4: Hai mặt phẳng song song

Bài 5: Hình lăng trụ và hình hộp

Bài 6: Phép chiếu song song. Hình biểu diễn của một hình không gian

Bài tập cuối chương 4