Cho B=3 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^120. Chứng minh: a) B chia hết cho 3; b) B chia hết cho 4; c) B chia hết cho 13

Câu 5: Cho B=3 + 3² + 3³ + ... + 3¹²⁰. Chứng minh:

a) B chia hết cho 3;

b) B chia hết cho 4;

c) B chia hết cho 13.

Trả lời

a) B = 3 + 32 + 33 + ... + 3120

= 3(1 + 3 + 32 + ... + 3119)

Vì 3 ⋮ 3 ⇒3(1 + 3 + 32 + ... + 3119) ⋮ 3

Vậy suy ra B ⋮ 3

b) B = 3 + 32 + 33 + ... + 3120

= (3 + 32) + (33 + 34) +... + (3119 + 3120)

= 3(1 + 3) + 33(1 + 3) +... + 3119(1 + 3)

= 3.4 + 33.4 + ... + 3119.4

= 4(3 + 33 + ... + 3119)

Vì 4 ⋮ 4 ⇒ 4(3 + 33 + ... + 3119) ⋮ 4

Vậy suy ra B ⋮ 4

c) B = 3 + 32 + 33 + ... + 3120

= (3 + 32 + 33) + (34 + 35 + 36) +... + (3118 + 3119 + 3120)

= 3(1 + 3 + 32) + 34(1 + 3 + 32) + ... + 3118(1 + 3 + 32)

= 3.13 + ... + 3118.13

= 13(3 + 34 + ... + 3118)

Vì 13 ⋮ 13 nên 13(3 + 34 + ... + 3118) ⋮ 13

Vậy suy ra B ⋮ 13